f: Z rightarrow Z દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ એ $f(x) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.એક-એક માટે: ધારો કે $x, y \in Z$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{3} = y^{3}$. ઘનમ

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f: Z ightarrow Z$ એ $f(x) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.એક-એક માટે: ધારો કે $x, y \in Z$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{3} = y^{3}$. ઘનમૂળ વિધેય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$x^{3} = y^{3} \implies x = y$.તેથી,$f$ એ એક-એક (injective) છે.વ્યાપ્ત માટે: વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in Z$ માટે,કોઈ એવો $x \in Z$ મળે કે જેથી $f(x) = y$.ધારો કે $y = 2 \in Z$. આપણે $x^{3} = 2$ જોઈએ છે,જેનો અર્થ થાય કે $x = \sqrt[3]{2}$.પરંતુ $\sqrt[3]{2} 
otin Z$,તેથી એવો કોઈ $x \in Z$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = 2$.તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત (surjective) નથી.નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

$f: Z \rightarrow Z$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^{3}$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

Similar Questions

સાબિત કરો કે $f : R \rightarrow R$ દ્વારા આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3}$ એક-એક (injective) છે.

જો $f: S \rightarrow R$ જ્યાં $S$ એ $R$ પર $2$ ક્રમના તમામ અસામાન્ય (non-singular) શ્રેણિકોનો ગણ છે અને $f\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\right) = ad - bc$ હોય, તો:

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે?

જો ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો હોય અને ગણ $B$ માં $n$ ઘટકો હોય,તો $A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module