वृत्त C_1 और C_2,जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r और | vedclass

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Question

(B) माना $O$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $O'$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $x$-अक्ष मानिए। चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श

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$45^{\circ}$

Vedclass · Answer

(B) माना $O$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $O'$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $x$-अक्ष मानिए। चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $R-r$ है। माना $M$,$P$ का $OO'$ रेखा पर प्रक्षेप है। चूंकि $l$,$C_1$ को $P$ पर स्पर्श करती है,$PM \perp OO'$,इसलिए $PM = r$ है। माना $N$,$B$ का $OO'$ रेखा पर प्रक्षेप है। चूंकि $l$,$OO'$ के समानांतर है,$BN = PM = r$ है। $	riangle O'NB$ में,$O'B = R$ और $BN = r$ है। दिया गया है $R^2 = 2r^2$,इसलिए $R = \sqrt{2}r$ है। तब $O'N = \sqrt{O'B^2 - BN^2} = \sqrt{2r^2 - r^2} = r$ है। चूंकि $O'N = BN = r$ है,$	riangle O'NB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle BO'N = 45^{\circ}$ है। इसी प्रकार,$\angle AO'M = 45^{\circ}$ है। अतः,$\angle AO'B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$ है। जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $O'$ पर बनाया गया कोण $90^{\circ}$ है। उसी जीवा $AB$ द्वारा वृत्त $C_2$ की परिधि पर किसी भी बिंदु $O$ पर बनाया गया कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है। इसलिए,$\angle AOB = \frac{1}{2} \angle AO'B = \frac{1}{2} 	imes 90^{\circ} = 45^{\circ}$।

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वृत्त $x^{2}+y^{2}=16$ पर स्थित बिंदुओं $(4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ और $(4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ को जोड़ने वाली जीवा की लंबाई क्या है?

यदि $h, k, p, q \neq 0$ और वृत्त $x^2+y^2+2hx+2ky=0$ तथा $x^2+y^2+2px+2qy=0$ मूल बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो $hq-pk-\frac{hq}{pk}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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