સમીકરણો z^3 + 2z^2 + 2z + 1 = 0 અને z^{1985} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) પ્રથમ સમીકરણને $(z + 1)(z^2 + z + 1) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.તેના બીજ $-1, \omega, 	ext{ અને } \omega^2$ છે.ધારો કે $f(z) = z^{1985} + z^{100} + 1

Vedclass · Accepted Answer

$\omega, \omega^2$

Vedclass · Answer

(A) પ્રથમ સમીકરણને $(z + 1)(z^2 + z + 1) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.તેના બીજ $-1, \omega, 	ext{ અને } \omega^2$ છે.ધારો કે $f(z) = z^{1985} + z^{100} + 1$.$z = -1$ માટે તપાસતા: $f(-1) = (-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = 1 
eq 0$.તેથી,$-1$ એ $f(z) = 0$ નું બીજ નથી.$z = \omega$ માટે તપાસતા: $f(\omega) = \omega^{1985} + \omega^{100} + 1$.$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$f(\omega) = (\omega^3)^{661} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{33} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$.તેથી,$\omega$ એ $f(z) = 0$ નું બીજ છે.તે જ રીતે,$z = \omega^2$ માટે $f(\omega^2) = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$.આમ,સામાન્ય બીજ $\omega 	ext{ અને } \omega^2$ છે.

સમીકરણો $z^3 + 2z^2 + 2z + 1 = 0$ અને $z^{1985} + z^{100} + 1 = 0$ ના સામાન્ય બીજ કયા છે?

Similar Questions

ધારો કે $\omega=\operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ અને $f(x)=x^7-2 x^4-4 x^3+8$. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

$(-i+\sqrt{3})^{300}+(-i-\sqrt{3})^{300}=$

$12^{\text{th}}$ અને $30^{\text{th}}$ એકમના મૂળ (roots of unity) વચ્ચે સામાન્ય મૂળની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોય,તો $\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}+\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ ની કિંમત શોધો.

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $(1 + i)^n + (1 - i)^n$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module