मान लीजिए $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ और $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ इस प्रकार परिभाषित हैं कि $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$ और $g(a)=\text{apple}, g(b)=\text{ball}, g(c)=\text{cat}$। दर्शाइए कि $f, g$ और $g \circ f$ व्युत्क्रमणीय (invertible) हैं। $f^{-1}, g^{-1}$ और $(g \circ f)^{-1}$ ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$।

परिभाषा के अनुसार,$f$ और $g$ एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) फलन हैं,इसलिए वे बाइजेक्टिव (bijective) हैं।
$f^{-1}: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $f^{-1}(a)=1, f^{-1}(b)=2, f^{-1}(c)=3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$g^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{a, b, c\}$ को $g^{-1}(\text{apple})=a, g^{-1}(\text{ball})=b, g^{-1}(\text{cat})=c$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $f^{-1} \circ f = I_{\{1, 2, 3\}}$ और $f \circ f^{-1} = I_{\{a, b, c\}}$,इसलिए $f$ व्युत्क्रमणीय है।
चूंकि $g^{-1} \circ g = I_{\{a, b, c\}}$ और $g \circ g^{-1} = I_{\{\text{apple, ball, cat}\}}$,इसलिए $g$ व्युत्क्रमणीय है।
$g \circ f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ को $(g \circ f)(1)=\text{apple}, (g \circ f)(2)=\text{ball}, (g \circ f)(3)=\text{cat}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$(g \circ f)^{-1}: \{\text{apple, ball, cat}\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ को $(g \circ f)^{-1}(\text{apple})=1, (g \circ f)^{-1}(\text{ball})=2, (g \circ f)^{-1}(\text{cat})=3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अब,$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{apple}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{apple})) = f^{-1}(a) = 1 = (g \circ f)^{-1}(\text{apple})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{ball}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{ball})) = f^{-1}(b) = 2 = (g \circ f)^{-1}(\text{ball})$.
$(f^{-1} \circ g^{-1})(\text{cat}) = f^{-1}(g^{-1}(\text{cat})) = f^{-1}(c) = 3 = (g \circ f)^{-1}(\text{cat})$.
अतः,$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ सिद्ध होता है।