एक आव्यूह A = begin{bmatrix} alpha & beta & g | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \en

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$42$

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(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$.$R_{3} ightarrow R_{3} + R_{1}$ लागू करने पर,$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \ \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma \end{vmatrix}$.$R_{3}$ से $(\alpha+\beta+\gamma)$ उभयनिष्ठ लेने पर,$|A| = (\alpha+\beta+\gamma) \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|A| = -(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$.$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))| = |A|^{(n-1)^4} = |A|^{16}$ होता है,जहाँ $n=3$.इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{|A|^{16}}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}} = 2^{32} 	imes 3^{16}$.इसका सरलीकरण $(\alpha+\beta+\gamma)^{16} = (2^2 	imes 3)^{16} = 12^{16}$ होता है।अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 12$.चूँकि $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{12-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ है।हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ भिन्न नहीं हैं। यदि $\alpha=\beta=\gamma$ है,तो $3\alpha=12 \Rightarrow \alpha=4$,जो $1$ स्थिति $(4,4,4)$ है।यदि दो संख्याएँ समान हैं,जैसे $\alpha=\beta$,तो $2\alpha+\gamma=12$. $\alpha$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 5$ हैं (क्योंकि $\alpha=4$ पर $\gamma=4$ होता है)। प्रत्येक क्रमचय के लिए $4$ युग्म मिलते हैं,इस प्रकार कुल $4 	imes 3 = 12$ स्थितियाँ होती हैं।कुल भिन्न टुपल्स = $55 - 1 - 12 = 42$.

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