$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક ગોળાનો વિચાર કરો જેમાં વિદ્યુતભાર ઘનતા નીચે મુજબ વિતરિત થયેલ છે:
$\rho(r) = kr$ જ્યારે $r \leq R$
$\rho(r) = 0$ જ્યારે $r > R$
$(a)$ તમામ બિંદુઓ $r$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધો.
$(b)$ ધારો કે ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $2e$ છે,જ્યાં $e$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર છે. બે પ્રોટોનને ક્યાં મૂકવા જોઈએ જેથી તેમના પર લાગતું બળ શૂન્ય થાય? ધારો કે પ્રોટોન ઉમેરવાથી વિદ્યુતભારનું વિતરણ બદલાતું નથી.

(N/A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગાઉસિયન ગોળાનો વિચાર કરો. ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r \leq R$ માટે,અંદરનો વિદ્યુતભાર $q(r) = \int_0^r \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_0^r (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^r r^3 dr = \pi k r^4$ છે.
ગાઉસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(4\pi r^2) = \frac{\pi k r^4}{\epsilon_0} \implies E = \frac{kr^2}{4\epsilon_0}$.
$r > R$ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \pi k R^4 = 2e$ છે. તેથી,$E(4\pi r^2) = \frac{2e}{\epsilon_0} \implies E = \frac{2e}{4\pi \epsilon_0 r^2}$.
$(b)$ પ્રોટોન પર લાગતું બળ શૂન્ય થવા માટે,ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર બીજા પ્રોટોનને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા નાબૂદ થવું જોઈએ. ધારો કે પ્રોટોન કેન્દ્રથી વિરુદ્ધ દિશામાં $d$ અંતરે છે. $d$ અંતરે ગોળાનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_s = \frac{q(d)}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{\pi k d^4}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{k d^2}{4\epsilon_0}$ છે.
$Q = \pi k R^4 = 2e$ હોવાથી,$k = \frac{2e}{\pi R^4}$ મળે. તેથી $E_s = \frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4}$.
$2d$ અંતરે બીજા પ્રોટોનનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_p = \frac{e}{4\pi \epsilon_0 (2d)^2} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2}$ છે.
$E_s = E_p$ ને સરખાવતા: $\frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2} \implies d^4 = \frac{R^4}{8} \implies d = \frac{R}{8^{1/4}} = \frac{R}{\sqrt[4]{8}}$.