एक त्रिभुज PQR पर विचार करें जिसकी भुजाओं की | vedclass

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Question

(D) कोसाइन के नियम के अनुसार,$\cos P = \frac{q^2+r^2-p^2}{2qr} = \frac{q^2+r^2}{2qr} - \frac{p^2}{2qr}$. चूँकि $q^2+r^2 \geq 2qr$ ($AM \geq GM$ द्वारा

Vedclass · Accepted Answer

$A, B$

Vedclass · Answer

(D) कोसाइन के नियम के अनुसार,$\cos P = \frac{q^2+r^2-p^2}{2qr} = \frac{q^2+r^2}{2qr} - \frac{p^2}{2qr}$. चूँकि $q^2+r^2 \geq 2qr$ ($AM \geq GM$ द्वारा),हमारे पास $\frac{q^2+r^2}{2qr} \geq 1$ है। अतः,$\cos P \geq 1 - \frac{p^2}{2qr}$। इसलिए,$(A)$ सही है।$(B)$ असमानता $(p+q) \cos R \geq (q-r) \cos P + (p-r) \cos Q$ को $(p \cos R + r \cos P) + (q \cos R + r \cos Q) \geq q \cos P + p \cos Q$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। प्रोजेक्शन सूत्र का उपयोग करते हुए,यह $q + p \geq r$ में सरल हो जाता है,जो त्रिभुज असमानता द्वारा सत्य है। इसलिए,$(B)$ सही है।$(C)$ साइन के नियम के अनुसार,$\frac{q+r}{p} = \frac{\sin Q + \sin R}{\sin P}$। चूँकि $\sin Q + \sin R \geq 2 \sqrt{\sin Q \sin R}$,हमारे पास $\frac{q+r}{p} \geq 2 \frac{\sqrt{\sin Q \sin R}}{\sin P}$ है। इसलिए,$(C)$ गलत है।$(D)$ शर्त $\cos Q > \frac{p}{r}$ का अर्थ है $\sin R \cos Q > \sin P$,जो $\sin P + \sin(R-Q) > 2 \sin P$,या $\sin(R-Q) > \sin P$ में सरल हो जाता है। यह उन सभी त्रिभुजों के लिए आवश्यक रूप से सत्य नहीं है जहाँ $p अतः,सही कथन $(A)$ और $(B)$ हैं।

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