फलन f: A rightarrow B और g: B rightarrow C (A | vedclass

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Question

(C) यह दिया गया है कि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व है,इसलिए संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।$1$.

Vedclass · Accepted Answer

$f$ एकैकी है और $g$ आच्छादक है

Vedclass · Answer

(C) यह दिया गया है कि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व है,इसलिए संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।$1$. $g \circ f$ को एकैकी होने के लिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है। यदि $f$ एकैकी नहीं है,तो $A$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद होंगे कि $f(x_1) = f(x_2)$,जिसका अर्थ है $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जो $g \circ f$ के एकैकी गुण का खंडन करता है।$2$. $g \circ f$ को आच्छादक होने के लिए,$g$ का आच्छादक होना आवश्यक है। यदि $g$ आच्छादक नहीं है,तो $C$ में ऐसा कोई $z$ मौजूद होगा जिसके लिए $B$ में कोई $y$ न हो ताकि $g(y) = z$,जिसका अर्थ है कि $A$ में कोई $x$ नहीं होगा ताकि $g(f(x)) = z$,जो $g \circ f$ के आच्छादक गुण का खंडन करता है।अतः,$f$ को एकैकी और $g$ को आच्छादक होना चाहिए।

फलन $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ $(A, B, C \subseteq \mathbb{R})$ पर विचार करें,ताकि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व हो। तो:

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यदि $f: R - \{\frac{3}{7}\} \rightarrow R - \{\frac{3}{7}\}$ को $f(x) = \frac{3x+5}{7x-3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो कौन सा कथन सत्य नहीं है?

मान लीजिए $f(x) = 2^{10} \cdot x + 1$ और $g(x) = 3^{10} \cdot x - 1$ है। यदि $(f \circ g)(x) = x$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \sin^{-1} x$ और $g(x) = \frac{x^2 - x - 2}{2x^2 - x - 6}$ है। यदि $g(2) = \lim_{x \to 2} g(x)$ है,तो फलन $f \circ g$ का प्रांत (domain) .... है।

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