વિધેય f(x) = begin{cases} x sin frac{pi}{x} & | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) $x > 0$ માટે,વિકલિત $f'(x) = \sin \frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x} \cos \frac{\pi}{x}$ દ્વારા મળે છે.આપણે $(0, 1)$ માં એવા બિંદુઓ $c$ શોધવા માંગીએ છી

Vedclass · Accepted Answer

અનંત

Vedclass · Answer

(D) $x > 0$ માટે,વિકલિત $f'(x) = \sin \frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x} \cos \frac{\pi}{x}$ દ્વારા મળે છે.આપણે $(0, 1)$ માં એવા બિંદુઓ $c$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.આનો અર્થ એ છે કે $\sin \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c} \cos \frac{\pi}{c}$,અથવા $	an \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c}$.અંતરાલો $I_k = \left[ \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} ight]$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$.આ અંતરાલોના અંત્યબિંદુઓ પર,$f\left(\frac{1}{k+1}ight) = \frac{1}{k+1} \sin((k+1)\pi) = 0$ અને $f\left(\frac{1}{k}ight) = \frac{1}{k} \sin(k\pi) = 0$ થાય છે.કારણ કે $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે,રોલના પ્રમેય મુજબ,દરેક $k \in \mathbb{N}$ માટે $\left( \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} ight)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c_k$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c_k) = 0$ થાય.આમ,$(0, 1)$ માં આવા અનંત અંતરાલો $I_k$ હોવાથી,એવા અનંત બિંદુઓ છે જ્યાં $f'(x) = 0$ થાય છે.

Similar Questions

જો વિધેય $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલ (Rolle's) પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય અને $f'(2) = 0$ હોય, તો $a - b$ ની કિંમત શોધો:

વિધેય $f(x)=x^{2}+2x-8, x \in[-4,2]$ માટે રોલના પ્રમેયને ચકાસો.

અંતરાલ $[1, 5]$ પર $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module