आव्यूह $f(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $f(-x)$,आव्यूह $f(x)$ का व्युत्क्रम (inverse) है।
कथन $II$: $f(x) f(y) = f(x+y)$.
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

मान लीजिए $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ और $X=\sum_{k=1}^6 P_k \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$ जहाँ $P_k^{\top}$ आव्यूह $P_k$ का परिवर्त आव्यूह दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $X - 30I$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है
$(2)$ $X$ के विकर्ण अवयवों का योग $18$ है
$(3)$ यदि $X \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ है,तो $\alpha=30$
$(4)$ $X$ एक सममित आव्यूह है

यदि $[x \ -5 \ -1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = O$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f : \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$,जो $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$ द्वारा परिभाषित है,का न्यूनतम और अधिकतम मान क्रमशः $m$ और $M$ है,तो क्रमित युग्म $(m, M)$ किसके बराबर है?

निम्नलिखित में से कौन सा $3 \times 3$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले आव्यूह का वर्ग $NOT$ है?

मान लीजिए $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. तो $A^{2025}-A^{2020}$ किसके बराबर है?