निम्नलिखित में से कौन सा $3 \times 3$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले आव्यूह का वर्ग $NOT$ है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}$ है। यदि किसी $\theta \in (0, \pi)$ के लिए,$A^2 = A^T$ है,तो आव्यूह $(A + I)^3 + (A - I)^3 - 6A$ के विकर्ण तत्वों का योग . . . . . . के बराबर है।

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$ और $\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = 0$ है,तो $\alpha$ का एक संभावित मान है

मान लीजिए $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$, जहाँ $i = \sqrt{-1}$, और $r, s \in \{1, 2, 3\}$ है। यदि $P = \begin{bmatrix} (-z)^r & z^{2s} \\ z^{2s} & z^r \end{bmatrix}$ और $I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है, तो उन क्रमित युग्मों $(r, s)$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $P^2 = -I$ है।

यदि आव्यूह $M_r$ को $r = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $M_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है, तो $\det(M_1) + \det(M_2) + \ldots + \det(M_{2008}) = $

मान लीजिए कि $A=[a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ क्रम का आव्यूह है,जहाँ $a_{ij}=(\sqrt{2})^{i+j}$ है। यदि $A^2$ की तीसरी पंक्ति के सभी तत्वों का योग $\alpha+\beta \sqrt{2}$ है,जहाँ $\alpha, \beta \in Z$,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।