यदि आव्यूह $M_r$ को $r = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $M_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है, तो $\det(M_1) + \det(M_2) + \ldots + \det(M_{2008}) = $

यदि $P$ एक वर्ग आव्यूह है जहाँ $P^2=P$ है और यदि $I$ उसी क्रम का इकाई आव्यूह है जिस क्रम का $P$ है,तो $(P+I)^4=$

मान लीजिए $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,जहाँ $\alpha = \alpha(\theta)$ और $\beta = \beta(\theta)$ वास्तविक संख्याएँ हैं,और $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। यदि $\alpha^*$ समुच्चय $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है और $\beta^*$ समुच्चय $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है,तो $\alpha^* + \beta^*$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है, जहाँ $\operatorname{det} A = -21$ और $A^3$ का ट्रेस $2024$ है, तो $A$ का ट्रेस ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4 \} \text{ और } A^2 - 4A + 3I = 0 \right\}$ एक $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय है। तो $S$ में ऐसे कितने आव्यूह हैं, जिनके लिए विकर्ण तत्वों का योग $4$ है?

यदि $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$ है,तो $x=$