मान लीजिए S = left{ begin{bmatrix} a & b c & | vedclass

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Question

(D) अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ है, जिसके गुणनखंड $(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ हैं। आइगेन मान (eigenvalues) $\lambda_1 = 1$ औ

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$19$

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(D) अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ है, जिसके गुणनखंड $(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ हैं। आइगेन मान (eigenvalues) $\lambda_1 = 1$ और $\lambda_2 = 3$ हैं। किसी भी $2 	imes 2$ आव्यूह $A$ के लिए, ट्रेस $	ext{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 3 = 4$ और सारणिक $\det(A) = ad - bc = \lambda_1 \lambda_2 = 1 	imes 3 = 3$ होता है। हमें दिया गया है कि $a, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ और $a + d = 4$, इसलिए $ad - bc = 3 \implies bc = ad - 3$। स्थिति $1$: $(a, d) = (1, 3)$। तो $bc = (1)(3) - 3 = 0$। $b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के लिए $bc = 0$ होने वाले संभावित युग्म: यदि $b=0$, तो $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)। यदि $c=0$, तो $b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)। $(0, 0)$ दो बार गिना गया है, इसलिए कुल युग्म = $5 + 5 - 1 = 9$। स्थिति $2$: $(a, d) = (3, 1)$। तो $bc = (3)(1) - 3 = 0$। स्थिति $1$ की तरह, कुल युग्म = $9$। स्थिति $3$: $(a, d) = (2, 2)$। तो $bc = (2)(2) - 3 = 1$। $b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के लिए $bc = 1$ होने वाला युग्म: केवल $(1, 1)$ संभव है। कुल युग्म = $1$। स्थिति $4$: $(a, d) = (0, 4)$ या $(4, 0)$। तो $bc = (0)(4) - 3 = -3$। चूंकि $b, c \ge 0$, इसलिए $bc = -3$ संभव नहीं है। आव्यूहों की कुल संख्या = $9 + 9 + 1 = 19$।

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