વર્તુળોની સિસ્ટમ x^2+y^2+2fy+lambda(x^2+y^2+2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વર્તુળોની સિસ્ટમ $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{k}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વર્તુળોની સિસ્ટમ $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k=0$ મળે છે. $(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+2\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)x+2\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)y+\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે. બિંદુ વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યા $r=0$ હોવી જોઈએ,તેથી $g'^2+f'^2-c'=0$. કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)^2+\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)^2-\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે. $(1+\lambda)^2$ વડે ગુણતા,આપણને $g^2\lambda^2+f^2-\lambda k(1+\lambda)=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(g^2-k)\lambda^2-k\lambda+f^2=0$ થાય છે. ધારો કે બીજ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે. બિંદુ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A\left(\frac{-g\lambda_1}{1+\lambda_1}, \frac{-f}{1+\lambda_1}\right)$ અને $B\left(\frac{-g\lambda_2}{1+\lambda_2}, \frac{-f}{1+\lambda_2}\right)$ છે. કારણ કે $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = -1$ થાય. $m_1 = \frac{-f/(1+\lambda_1)}{-g\lambda_1/(1+\lambda_1)} = \frac{f}{g\lambda_1}$. તેથી,$\left(\frac{f}{g\lambda_1}\right)\left(\frac{f}{g\lambda_2}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{f^2}{g^2\lambda_1\lambda_2} = -1$. દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\lambda_1\lambda_2 = \frac{f^2}{g^2-k}$. આ કિંમત મૂકતા,$\frac{f^2}{g^2(f^2/(g^2-k))} = -1 \Rightarrow \frac{g^2-k}{g^2} = -1$. $g^2-k = -g^2$ $\Rightarrow 2g^2 = k$ $\Rightarrow g^2 = \frac{k}{2}$.

Similar Questions

વર્તુળો ${x^2} + {y^2} - 3x - 4y + 5 = 0$ અને $3{x^2} + 3{y^2} - 7x + 8y + 11 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષનો ઢાળ શોધો.

વર્તુળોની સહ-અક્ષીય પ્રણાલી $x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ માં,જ્યાં $g$ એક પ્રાચલ (parameter) છે,જો $c > 0$ હોય,તો વર્તુળો કેવા પ્રકારના છે?

વર્તૂળો $x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 6x + y = 0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

બે આપેલા વર્તુળો $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ અને $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે,ત્યારે અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module