समीकरणों की प्रणाली पर विचार करेंbegin{cases} | vedclass

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Question

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली एक समरूप प्रणाली $AX = 0$ है, जहाँ गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^2 &

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अनंत हल, यदि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ में से कोई भी दो समान हैं।

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(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली एक समरूप प्रणाली $AX = 0$ है, जहाँ गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{bmatrix}$ है।गुणांक आव्यूह का सारणिक $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ \alpha & \beta & \gamma \ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{vmatrix}$ है।यह एक वेंडरमोंड सारणिक है, जिसका मान $|A| = (\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)$ होता है।$(i)$ यदि $\alpha, \beta, \gamma$ अलग-अलग हैं, तो $|A| 
eq 0$ होता है। इस स्थिति में, प्रणाली का केवल तुच्छ हल $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ होता है, जो एक अद्वितीय हल है।(ii) यदि $\alpha, \beta, \gamma$ में से कोई भी दो समान हैं, तो $|A| = 0$ होता है। इस स्थिति में, प्रणाली के अनंत हल होते हैं क्योंकि आव्यूह की कोटि चरों की संख्या से कम होती है।

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें
$\begin{cases} x+y+z = 0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma z = 0 \\ \alpha^{2} x+\beta^{2} y+\gamma^{2} z = 0 \end{cases}$
तो समीकरणों की इस प्रणाली के पास है

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समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें$\begin{cases} x+y+z = 0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma z = 0 \\ \alpha^{2} x+\beta^{2} y+\gamma^{2} z = 0 \end{cases}$तो समीकरणों की इस प्रणाली के पास है