n times n वास्तविक आव्यूहों A और B के वर्ग पर | vedclass

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Question

(C) संबंध $R$ को $A R B \iff B = P A P^{-1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $P$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।$1$. स्वतुल्यता: किसी भी आव्यूह $A$ के लि

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$R$ एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है।

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(C) संबंध $R$ को $A R B \iff B = P A P^{-1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $P$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।$1$. स्वतुल्यता: किसी भी आव्यूह $A$ के लिए,हम $P = I$ (तत्समक आव्यूह) चुन सकते हैं। तब $I A I^{-1} = I A I = A$ होता है। अतः,$A R A$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: मान लीजिए $A R B$ है। तो किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ के लिए $B = P A P^{-1}$ है। हम $A = P^{-1} B P$ लिख सकते हैं। मान लीजिए $Q = P^{-1}$ है। चूंकि $P$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $Q$ भी व्युत्क्रमणीय है। तब $A = Q B Q^{-1}$ है। अतः,$B R A$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $A R B$ और $B R C$ है। तो कुछ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $P$ और $Q$ के लिए $B = P A P^{-1}$ और $C = Q B Q^{-1}$ है। दूसरे समीकरण में $B$ का मान रखने पर,$C = Q (P A P^{-1}) Q^{-1} = (Q P) A (P^{-1} Q^{-1}) = (Q P) A (Q P)^{-1}$ प्राप्त होता है। चूंकि दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का गुणनफल $Q P$ भी व्युत्क्रमणीय होता है,इसलिए $A R C$ सत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

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यदि $R = \{(6, 6), (9, 9), (6, 12), (12, 12), (12, 6)\}$ समुच्चय $A = \{3, 6, 9, 12\}$ पर एक संबंध है,तो संबंध $R$ है

एक अरिक्त समुच्चय $A$ पर परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) होगा,यदि $R$:

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