क्या बिंदु $(3,2), (-2,-3)$ और $(2,3)$ एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ,तो बनने वाले त्रिभुज का प्रकार बताइए।

(D) माना बिंदु $P(3,2), Q(-2,-3)$ और $R(2,3)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हैं:
$PQ = \sqrt{(-2-3)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
$PR = \sqrt{(2-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
चूँकि किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक है ($PQ + PR > QR$,$PQ + QR > PR$,और $PR + QR > PQ$),इसलिए ये बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की जाँच करने पर: $PR^2 + PQ^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{50})^2 = 2 + 50 = 52$.
यहाँ $QR^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$ है,इसलिए $PR^2 + PQ^2 = QR^2$ है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।