int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} f(x) dx का म | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$ है। चूँकि $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ एक सम फलन है क्योंकि $

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$4$

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(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$ है। चूँकि $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ एक सम फलन है क्योंकि $f(-x) = \sin |-x| + \cos |-x| = \sin |x| + \cos |x| = f(x)$,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं। अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$। $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए समाकलन $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) dx$ हो जाता है। समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = 2 [-\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$। सीमाओं को रखने पर: $I = 2 [(-\cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0 + \sin 0)]$। $I = 2 [(0 + 1) - (-1 + 0)] = 2 [1 + 1] = 2(2) = 4$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ और $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

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