(0, infty) पर int sin (sqrt{k}) , dk का मूल्य | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \sin (\sqrt{k}) \, dk$,जहाँ $k \in (0, \infty)$ है।$k = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dk = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकल

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$2[\sin (\sqrt{k})-\sqrt{k} \cos (\sqrt{k})]+c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \sin (\sqrt{k}) \, dk$,जहाँ $k \in (0, \infty)$ है।$k = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dk = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \sin(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int t \sin(t) \, dt$ प्राप्त होता है।खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = t$ और $dv = \sin(t) \, dt$ है,तब $du = dt$ और $v = -\cos(t)$ होगा।$I = 2 [t(-\cos(t)) - \int (-\cos(t)) \, dt]$$I = 2 [-t \cos(t) + \int \cos(t) \, dt]$$I = 2 [-t \cos(t) + \sin(t)] + c$अब $t = \sqrt{k}$ वापस रखने पर:$I = 2[\sin(\sqrt{k}) - \sqrt{k} \cos(\sqrt{k})] + c$.

$(0, \infty)$ पर $\int \sin (\sqrt{k}) \, dk$ का मूल्यांकन करें।

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