यदि int sin ^5 x , dx = frac{-cos ^5 x}{5} + | vedclass

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Question

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$ है। सर्वसमिका $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^

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$-\frac{1}{3}$

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(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$ है। सर्वसमिका $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^4 x = (1 - \cos^2 x)^2 = 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$ प्राप्त होता है। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x) \sin x \, dx$। माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x \, dx$,इसलिए $\sin x \, dx = -du$। $I = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = -[u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}] + C = -\frac{u^5}{5} + \frac{2u^3}{3} - u + C$। $u = \cos x$ वापस रखने पर: $I = -\frac{\cos^5 x}{5} + \frac{2}{3} \cos^3 x - \cos x + C$। दिए गए व्यंजक $\frac{-\cos^5 x}{5} + a \cos^3 x + b \cos x + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{2}{3}$ और $b = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$a + b = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$।

यदि $\int \sin ^5 x \, dx = \frac{-\cos ^5 x}{5} + a \cos ^3 x + b \cos x + c$ है,तो $a + b =$

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$\int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx = $

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