फलन का समाकलन कीजिए: $e^{3 \log x}(x^{4}+1)^{-1}$

दिया गया समाकलन $I = \int e^{3 \log x}(x^{4}+1)^{-1} dx$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $n \log x = \log x^{n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $e^{3 \log x} = e^{\log x^{3}} = x^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $I = \int \frac{x^{3}}{x^{4}+1} dx$ हो जाता है।
माना $t = x^{4}+1$ है। तब $dt = 4x^{3} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{3} dx = \frac{dt}{4}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{t} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{1}{4} \log |t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = x^{4}+1$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{4} \log |x^{4}+1| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^{4}+1 > 0$ है,इसलिए हम $I = \frac{1}{4} \log (x^{4}+1) + C$ लिख सकते हैं।