निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: int_0^{pi^ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi^2 / 4} (2 \sin \sqrt{x} + \sqrt{x} \cos \sqrt{x}) \, dx$. $t = \sqrt{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प

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$\frac{\pi^2}{2}$

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(C) माना $I = \int_0^{\pi^2 / 4} (2 \sin \sqrt{x} + \sqrt{x} \cos \sqrt{x}) \, dx$. $t = \sqrt{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \frac{\pi^2}{4}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin t + t \cos t) (2t) \, dt = \int_0^{\pi/2} (4t \sin t + 2t^2 \cos t) \, dt$. दूसरे पद $\int 2t^2 \cos t \, dt$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $u = 2t^2$ और $dv = \cos t \, dt$ लेने पर,$du = 4t \, dt$ और $v = \sin t$ प्राप्त होता है। $\int 2t^2 \cos t \, dt = 2t^2 \sin t - \int 4t \sin t \, dt$. इस मान को $I$ में रखने पर: $I = \int_0^{\pi/2} 4t \sin t \, dt + [2t^2 \sin t]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 4t \sin t \, dt$. $I = [2t^2 \sin t]_0^{\pi/2} = 2(\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) - 0 = 2(\frac{\pi^2}{4})(1) = \frac{\pi^2}{2}$.

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\pi^2 / 4} (2 \sin \sqrt{x} + \sqrt{x} \cos \sqrt{x}) \, dx$

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