समाकलन ज्ञात कीजिए: int frac{x e^{2x}}{(1+2x) | vedclass

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Question

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{x e^{2x}}{(1+2x)^2} dx$ दिया गया है। माना $2x = t$,तब $2 dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{2}$। इन मानों को समाकल

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$\frac{e^{2x}}{4(1+2x)} + C$

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(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{x e^{2x}}{(1+2x)^2} dx$ दिया गया है। माना $2x = t$,तब $2 dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{2}$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{(t/2) e^t}{(1+t)^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int \frac{t e^t}{(1+t)^2} dt$। अंश $t$ को $(t+1-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है: $I = \frac{1}{4} \int e^t \left( \frac{t+1-1}{(1+t)^2} \right) dt = \frac{1}{4} \int e^t \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$। मानक समाकलन सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$: $I = \frac{1}{4} e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + C$। $t = 2x$ वापस रखने पर: $I = \frac{e^{2x}}{4(1+2x)} + C$।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x e^{2x}}{(1+2x)^2} dx = $ (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

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