फलन x^{y} + y^{x} = 1 के लिए frac{dy}{dx} ज्ञ | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $x^{y} + y^{x} = 1$ है।माना $u = x^{y}$ और $v = y^{x}$ है।तब समीकरण $u + v = 1$ हो जाता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx

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$-\frac{y x^{y-1} + y^{x} \log y}{x^{y} \log x + x y^{x-1}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन $x^{y} + y^{x} = 1$ है।माना $u = x^{y}$ और $v = y^{x}$ है।तब समीकरण $u + v = 1$ हो जाता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$  $(1)$.$u = x^{y}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = y \log x$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.अतः,$\frac{du}{dx} = x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) = y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx}$  $(2)$.$v = y^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = x \log y$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1$.अतः,$\frac{dv}{dx} = y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) = x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y$  $(3)$.$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में रखने पर:$y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx} + x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y = 0$.$\frac{dy}{dx} (x^{y} \log x + x y^{x-1}) = -(y x^{y-1} + y^{x} \log y)$.अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y x^{y-1} + y^{x} \log y}{x^{y} \log x + x y^{x-1}}$.

फलन $x^{y} + y^{x} = 1$ के लिए $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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