$\int \frac{x^{2}+x+1}{(x+2)(x^{2}+1)} dx$ શોધો.

(N/A) આ સંકલ્ય એક ઉચિત સંમેય વિધેય છે. આપણે તેને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં નીચે મુજબ વિભાજિત કરીએ છીએ:

સંમેય વિધેયનું સ્વરૂપ	આંશિક અપૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ
$\frac{px^{2}+qx+r}{(x-a)(x^{2}+bx+c)}$	$\frac{A}{x-a}+\frac{Bx+C}{x^{2}+bx+c}$

$\frac{x^{2}+x+1}{(x+2)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$
બંને બાજુ $(x+2)(x^{2}+1)$ વડે ગુણતા:
$x^{2}+x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+2)$
$x^{2}+x+1 = (A+B)x^{2} + (2B+C)x + (A+2C)$
$x^{2}, x$ અને અચળ પદના સહગુણકોને સરખાવતા:
$A+B = 1, 2B+C = 1, A+2C = 1$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$A = \frac{3}{5}, B = \frac{2}{5}, C = \frac{1}{5}$
તેથી,$\int \frac{x^{2}+x+1}{(x+2)(x^{2}+1)} dx = \int \left( \frac{3/5}{x+2} + \frac{2/5x + 1/5}{x^{2}+1} \right) dx$
$= \frac{3}{5} \int \frac{1}{x+2} dx + \frac{1}{5} \int \frac{2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2}+1} dx$
$= \frac{3}{5} \ln|x+2| + \frac{1}{5} \ln(x^{2}+1) + \frac{1}{5} \tan^{-1}(x) + C$.