$f$ ના તમામ અસતત બિંદુઓ શોધો,જ્યાં $f$ એ $f(x) = \begin{cases} x^{10} - 1, & \text{જો } x \le 1 \\ x^2, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x^{10} - 1, & \text{જો } x \le 1 \\ x^2, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ છે.
વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 1$ હોય,તો $f(c) = c^{10} - 1$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^{10} - 1) = c^{10} - 1 = f(c)$. આમ,$f$ એ તમામ $x < 1$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 1$ હોય,તો આપણે $x = 1$ આગળ લક્ષ ચકાસીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^{10} - 1) = 1^{10} - 1 = 0$ છે.
જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1$ છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(0)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(1)$ જેટલું ન હોવાથી,વિધેય $f$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c > 1$ હોય,તો $f(c) = c^2$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2) = c^2 = f(c)$. આમ,$f$ એ તમામ $x > 1$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: અસતત બિંદુ માત્ર $x = 1$ છે.