$(3,0), (-1,-6),$ અને $(4,-1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર અને પરિત્રિજ્યા શોધો.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(3,0), B(-1,-6),$ અને $C(4,-1)$ છે. ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x,y)$ છે.
$O$ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$ થાય.
$OA^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$
$OB^2 = (x+1)^2 + (y+6)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 12y + 36 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37$
$OC^2 = (x-4)^2 + (y+1)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17$
$OA^2 = OB^2$ ને સરખાવતા: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 \implies -8x - 12y = 28 \implies 2x + 3y = -7$ (સમીકરણ $1$).
$OB^2 = OC^2$ ને સરખાવતા: $x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17 \implies 10x + 10y = -20 \implies x + y = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા: $2$ પરથી,$x = -2 - y$. તેને $1$ માં મૂકતા: $2(-2-y) + 3y = -7 \implies -4 - 2y + 3y = -7 \implies y = -3$.
તેથી $x = -2 - (-3) = 1$. આમ,પરિકેન્દ્ર $(1, -3)$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R = OA = \sqrt{(1-3)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.