$(3,0), (-1,-6),$ और $(4,-1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का परिकेंद्र और परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

(A) माना शीर्ष $A(3,0), B(-1,-6),$ और $C(4,-1)$ हैं। माना परिकेंद्र $O(x,y)$ है।
चूँकि $O$ परिकेंद्र है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2$ होगा।
$OA^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$
$OB^2 = (x+1)^2 + (y+6)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 12y + 36 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37$
$OC^2 = (x-4)^2 + (y+1)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 \implies -8x - 12y = 28 \implies 2x + 3y = -7$ (समीकरण $1$)।
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर: $x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17 \implies 10x + 10y = -20 \implies x + y = -2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर: $2$ से,$x = -2 - y$. इसे $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-2-y) + 3y = -7 \implies -4 - 2y + 3y = -7 \implies y = -3$.
अतः $x = -2 - (-3) = 1$. इसलिए,परिकेंद्र $(1, -3)$ है।
परित्रिज्या $R = OA = \sqrt{(1-3)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$।