रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ और समतल $10x+2y-11z=3$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि तीन समतल $x = 5$,$2x - 5ay + 3z - 2 = 0$ और $3bx + y - 3z = 0$ एक सामान्य रेखा से गुजरते हैं,तो $(a, b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समतल $Ax - 2y + z = d$ और रेखाओं $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ तथा $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ को समाहित करने वाले समतल के बीच की दूरी $\sqrt{6}$ है,तो $|d|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$R^3$ में,समतलों $P_1: y=0$ और $P_2: x+z=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $P_3$ एक समतल है,जो $P_1$ और $P_2$ से भिन्न है,और उनके प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $(0,1,0)$ की $P_3$ से दूरी $1$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की $P_3$ से दूरी $2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है (हैं)?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

समतलों $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ और $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) = -2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1, 0, 2)$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए:

माना $P$ एक समतल है जो बिंदुओं $(1,0,1), (1,-2,1)$ और $(0,1,-2)$ से होकर गुजरता है। माना एक सदिश $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ इस प्रकार है कि $\vec{a}$,समतल $P$ के समांतर है,$(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ के लंबवत है और $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$ है,तो $(\alpha - \beta + \gamma)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।