$R^3$ में,समतलों $P_1: y=0$ और $P_2: x+z=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $P_3$ एक समतल है,जो $P_1$ और $P_2$ से भिन्न है,और उनके प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $(0,1,0)$ की $P_3$ से दूरी $1$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की $P_3$ से दूरी $2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है (हैं)?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(0,1,2)$ और $(-1,0,3)$ से होकर गुजरता है और समतल $2x+3y+z=5$ के लंबवत है।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ निम्नलिखित सीधी रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{3}$ और $L_2: \frac{x-1}{-3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1}$.
मान लीजिए सीधी रेखा $L: \frac{x-\alpha}{l} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-\gamma}{-2}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $L_1$ और $L_2$ हैं,और यह $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यदि रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच के न्यून कोण को समद्विभाजित करती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $\alpha-\gamma=3$
$(B)$ $l+m=2$
$(C)$ $\alpha-\gamma=1$
$(D)$ $l+m=0$

समतलों $2x - y - 4 = 0$ और $y + 2z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतल $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और समतल $5x+3y-6z+8=0$ पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतलों $r \cdot (i - 3j + k) = 1$ और $r \cdot (2i + 5j - 3k) = 2$ की प्रतिच्छेदन रेखा किस सदिश के समांतर है?