वक्रों y^{2}=2x और y=x के बीच का क्षेत्रफल ज् | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=2x$ और $y=x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x$ को $y^{2}=2x$ में प्रतिस्थापित करें: $x^{2}=2x \implies x^{2}-2x=0

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$ \frac{2}{3} $ वर्ग इकाई

Vedclass · Answer

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=2x$ और $y=x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x$ को $y^{2}=2x$ में प्रतिस्थापित करें: $x^{2}=2x \implies x^{2}-2x=0 \implies x(x-2)=0$. अतः,$x=0$ और $x=2$ प्राप्त होते हैं। जब $x=0, y=0$ और जब $x=2, y=2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(2,2)$ हैं। आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का समाकलन है: क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - x) dx$ $= \int_{0}^{2} (\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$ $= \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} ight]_{0}^{2}$ $= \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} ight]_{0}^{2}$ $= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} (2)^{3/2} - \frac{2^{2}}{2} ight) - (0 - 0)$ $= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{4}{2} ight)$ $= \left( \frac{4 \cdot 2}{3} - 2 ight)$ $= \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} 	ext{ वर्ग इकाई.}$

वक्रों $y^{2}=2x$ और $y=x$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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