પ્રદેશ $\{(x, y): y^{2} \leq 4 x, 4 x^{2}+4 y^{2} \leq 9\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

(D) વક્રો $\{(x, y): y^{2} \leq 4 x, 4 x^{2}+4 y^{2} \leq 9\}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પરવલય $y^{2}=4 x$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=\frac{9}{4}$ ના છેદબિંદુઓ શોધીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}=4 x$ મૂકતા: $4 x^{2}+4(4 x)=9 \Rightarrow 4 x^{2}+16 x-9=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2 x-1)(2 x+9)=0$,આપણને $x=\frac{1}{2}$ મળે છે (કારણ કે પરવલય માટે $x \geq 0$ છે).
$x=\frac{1}{2}$ માટે,$y^{2}=4(\frac{1}{2})=2 \Rightarrow y=\pm \sqrt{2}$. છેદબિંદુઓ $(\frac{1}{2}, \sqrt{2})$ અને $(\frac{1}{2}, -\sqrt{2})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times$ (પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ) છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1/2} \sqrt{4x} \, dx + \int_{1/2}^{3/2} \sqrt{\frac{9}{4}-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ \int_{0}^{1/2} 2\sqrt{x} \, dx + \frac{1}{2} \int_{1/2}^{3/2} \sqrt{(3/2)^2-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} \Big|_0^{1/2} + \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{\frac{9}{4}-x^2} + \frac{9}{8} \sin^{-1}(\frac{2x}{3}) \right) \Big|_{1/2}^{3/2} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{4}{3} (\frac{1}{2\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \left( (0 + \frac{9}{8} \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4} \sqrt{2} + \frac{9}{8} \sin^{-1}(\frac{1}{3})) \right) \right]$.
$= 2 \left[ \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{16} - \frac{\sqrt{2}}{8} - \frac{9}{16} \sin^{-1}(\frac{1}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{5\sqrt{2}}{24} + \frac{9\pi}{16} - \frac{9}{16} \sin^{-1}(\frac{1}{3}) \right] = \frac{5\sqrt{2}}{12} + \frac{9\pi}{8} - \frac{9}{8} \sin^{-1}(\frac{1}{3}) \text{ ચોરસ એકમ.}$