$A(1,1,2), B(2,3,5)$ અને $C(1,5,5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=6 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $|\vec{c}| \geq 6, \vec{a} \cdot \vec{c}=6|\vec{c}|, |\vec{c}-\vec{a}|=2 \sqrt{2}$ અને $\vec{a} \times \vec{b}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોય,તો $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{p}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{q}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ બે સદિશો છે. જો સદિશ $\vec{r}=(\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k})$ એ $(\vec{p}+\vec{q})$ અને $(\vec{p}-\vec{q})$ બંને સદિશોને લંબ હોય,અને $|\vec{r}|=\sqrt{3}$ હોય,તો $|\alpha|+|\beta|+|\gamma|$ ની કિંમત $.....$ થાય.

સદિશ $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ એ $(2, 3, -1)$ અને $(1, -1, 2)$ સદિશો ધરાવતા સમતલ સાથે $\cot^{-1} \sqrt{2}$ જેટલો લઘુકોણ બનાવે છે. તો,

ધારો કે $\bar{a}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\overline{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,જ્યાં $\alpha, \beta \in R$,ત્રણ સદિશો છે. જો $\overline{a}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{3}$ હોય અને $\bar{b} \times \bar{c}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$ હોય,તો $2 \alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\vec{d}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ હોય,તો $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})|=$