$(3, -4, -5)$ અને $(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $2x + y + z = 7$ સમતલને જે બિંદુએ છેદે છે તેના યામ શોધો.

બિંદુ $(1, -2, 3)$ નું સમતલ $x - y + z = 5$ થી રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ ને સમાંતર માપેલું અંતર કેટલું છે?

જો ${L_1}$ એ સમતલો $2x - 2y + 3z - 2 = 0$ અને $x - y + z + 1 = 0$ ની છેદરેખા હોય અને ${L_2}$ એ સમતલો $x + 2y - z - 3 = 0$ અને $3x - y + 2z - 1 = 0$ ની છેદરેખા હોય,તો ${L_1}$ અને ${L_2}$ ને સમાવતા સમતલનું ઉગમબિંદુથી અંતર શોધો.

ધારો કે $P$ એ $(1,0,1), (1,-2,1)$ અને $(0,1,-2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું સમતલ છે. ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ એવું છે કે જેથી $\vec{a}$ એ સમતલ $P$ ને સમાંતર છે,$(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ ને લંબ છે અને $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$ છે,તો $(\alpha - \beta + \gamma)^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\Pi$ એ એક સમતલ છે જે બિંદુઓ $(0,-5,-1), (1,-2,5), (-3,5,0)$ ને સમાવે છે અને $L$ એ એક રેખા છે જે બિંદુ $(0,-5,-1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\hat{i}+5\hat{j}-6\hat{k}$ ને સમાંતર છે. તો સમતલ $\Pi$ ના એકમ લંબ સદિશનો રેખા $L$ પરનો પ્રક્ષેપની લંબાઈ શોધો.

$r=(\hat{i}+\hat{j})+t(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ અને $r=(\hat{i}+\hat{j})+s(-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$ રેખાઓ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શું છે?