उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ $(3, -4, -5)$ और $(2, -3, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा समतल $2x + y + z = 7$ को काटती है।

रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{2}$ और समतल $2x + 2y - z = 6$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदु $\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ से गुजरने वाले और समतलों $r \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ तथा $r \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

माना $P_{1}: \vec{r} \cdot(2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 4$ एक समतल है। माना $P_{2}$ एक अन्य समतल है जो बिंदुओं $(2, -3, 2)$,$(2, -2, -3)$ और $(1, -4, 2)$ से होकर गुजरता है। यदि $P_{1}$ और $P_{2}$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $16, \alpha, \beta$ हैं,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P$,$Q$ और $R$ बिंदु $A(1, 1, 1)$ से समतलों $P_1: x + 2y + 2z = 2$,$P_2: 2x - 2y + z = -8$ और $P_1$ तथा $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा पर खींचे गए लंबपाद हैं,तो $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक रेखा $L_1$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं $L_2: \vec{r} = (3+t)\hat{i} + (2t-1)\hat{j} + (2t+4)\hat{k}$ और $L_3: \vec{r} = (3+2s)\hat{i} + (3+2s)\hat{j} + (2+s)\hat{k}$ के लंबवत है, जहाँ $t, s \in R$ है। यदि $(a, b, c)$, जहाँ $a \in Z$, $L_3$ पर स्थित वह बिंदु है जो $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $\sqrt{17}$ की दूरी पर है, तो $(a+b+c)^2$ का मान . . . . . . . है।