दी गई शर्तों को पूरा करने वाले दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण ज्ञात कीजिए: दीर्घ अक्ष के सिरे $(\pm 3, 0)$,लघु अक्ष के सिरे $(0, \pm 2)$।

वक्र $2x^2+y^2=2x$ से बिंदु $(a, 0)$ की अधिकतम दूरी क्या है?

दो सीधी रेखाओं पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ और परवलय $y^2 = 4x$ दोनों को स्पर्श करती है। मान लीजिए कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। उस दीर्घवृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और जिसकी अर्ध-दीर्घ अक्ष $OQ$ है। यदि इस दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई $\sqrt{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलंब की लंबाई $1$ है।
$(B)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{2}$ है।
$(C)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ है।
$(D)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ है।

दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=64$ में अंतर्निहित अधिकतम क्षेत्रफल वाले आयत की भुजाएँ हैं:

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{\pi}{6}$ वर्ग इकाई है। तो,दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है?

बिंदु $(3, 5)$ से दीर्घवृत्त $3x^2 + 5y^2 = 32$ और $25x^2 + 9y^2 = 450$ पर खींची जा सकने वाली वास्तविक स्पर्श रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।