વક્ર $y=\cos(x+y)$ માટે $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ અંતરાલમાં રહેલા તમામ સ્પર્શકોના સમીકરણો શોધો જે રેખા $x+2y=0$ ને સમાંતર હોય.

(A) આપેલ વક્ર $y = \cos(x+y)$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$ મળે.
ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$.
સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
વિકલિતને ઢાળ સાથે સરખાવતા: $-\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y) \Rightarrow \sin(x+y) = 1$.
$\sin(x+y) = 1$ હોવાથી,$\cos(x+y) = 0$ થાય. $y = \cos(x+y)$ આપેલ હોવાથી,$y = 0$ મળે.
$y=0$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \cos(x+0) \Rightarrow \cos(x) = 0$.
$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ માટે,ઉકેલો $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}$ છે.
$\sin(x+y) = 1$ ની ચકાસણી કરતા: $x = \frac{\pi}{2}, y=0$ માટે,$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (માન્ય). $x = -\frac{3\pi}{2}, y=0$ માટે,$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ (માન્ય). અન્ય બિંદુઓ અમાન્ય છે.
સ્પર્શબિંદુઓ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ અને $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ છે.
$(\frac{\pi}{2}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y - \pi = 0$.
$(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x + \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y + 3\pi = 0$.