$(0, \pm 3)$ નાભિ અને $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો અતિવલયનું સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ હોય,તો તેના સંયુગ્મી અતિવલયનું સમીકરણ શું થાય?

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ ધરાવતા અતિવલયની નાભિલંબની લંબાઈ $9$ છે અને નિયામિકાઓ $x = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ છે. જો રેખા $y - \sqrt{3}x + \sqrt{3} = 0$ આ અતિવલયને $(x_0, y_0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,અને $m$ એ $(x_0, y_0)$ બિંદુના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર હોય,તો $4e^2 + m$ ની કિંમત ........... થાય.

અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક યામ અક્ષો પર એકમ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપે છે. તો બિંદુ $(a, b)$ કયા લંબકોણીય અતિવલય પર આવેલું છે?

જે બિંદુમાંથી અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ ની બે અલગ અલગ શાખાઓ પર બે ભિન્ન સ્પર્શકો દોરી શકાય,પરંતુ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 36$ પર બે ભિન્ન સ્પર્શકો દોરી ન શકાય તેવું બિંદુ કયું છે?

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $6$ હોય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ હોય,તો અતિવલયની અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ શોધો.