જો અતિવલય frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 પરન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $bx - ay = 0$ અને $bx + ay = 0$ છે.ધારો કે $P(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$

Vedclass · Accepted Answer

$12$

Vedclass · Answer

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $bx - ay = 0$ અને $bx + ay = 0$ છે.ધારો કે $P(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.$P$ થી અનંતસ્પર્શક $bx - ay = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $PQ = \frac{|b(a \sec 	heta) - a(b 	an 	heta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec 	heta - 	an 	heta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.$P$ થી અનંતસ્પર્શક $bx + ay = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $PR = \frac{|b(a \sec 	heta) + a(b 	an 	heta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec 	heta + 	an 	heta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.આ અંતરોનો ગુણાકાર $6$ આપેલ છે:$\frac{a^2 b^2(\sec^2 	heta - 	an^2 	heta)}{a^2 + b^2} = 6$$\sec^2 	heta - 	an^2 	heta = 1$ હોવાથી,$\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = 6$ મળે.$e = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$ થાય.સમીકરણમાં $b^2 = 2a^2$ મૂકતા:$\frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2a^4}{3a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2}{3}a^2 = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$.તેથી $b^2 = 2(9) = 18$,એટલે કે $b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$ થાય.

Similar Questions

ધારો કે $P$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 4$ પરનું એક બિંદુ છે,જે $(0, -1)$ થી ન્યૂનતમ અંતરે છે,તો $x$-અક્ષથી $P$ નું અંતર કેટલું થાય?

રેખાઓ $x - y = 0$,$x + y = 0$ અને અતિવલય $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ ના કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module