यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर किसी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $6$ है और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) $\sqrt{3}$ है,तो अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर गुजरता है और इसकी नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ पर हैं। तो वह बिंदु जो इस अतिपरवलय पर $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा पर स्थित है,वह है

यदि बिंदु $P(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा,परवलय $x^2 = 4by$ को स्पर्श करती है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

अतिपरवलय $x^2-3y^2=3$ के बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ पर स्पर्श रेखा और अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी (asymptotes) द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

यदि एक वृत्त एक आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ को चार बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ पर काटता है,और इन चार बिंदुओं के प्राचल क्रमशः $t_1, t_2, t_3,$ और $t_4$ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ और $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ जहाँ $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ पर दो बिंदु हैं। यदि $(\alpha, \beta)$ $A$ और $B$ पर अतिपरवलय के अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।