निम्नलिखित समाकल ज्ञात कीजिए: int frac{x+3}{s | vedclass

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Question

(A) यह समाकल $\int \frac{(p x+q) d x}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}$ के रूप में है। मान लीजिए $x+3 = A \frac{d}{d x}(5-4 x-x^{2}) + B = A(-4-2 x) + B$ है।$x$

Vedclass · Accepted Answer

$-\sqrt{5-4 x-x^{2}}+\sin ^{-1} \frac{x+2}{3}+ C$

Vedclass · Answer

(A) यह समाकल $\int \frac{(p x+q) d x}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}$ के रूप में है। मान लीजिए $x+3 = A \frac{d}{d x}(5-4 x-x^{2}) + B = A(-4-2 x) + B$ है।$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $-2 A = 1$ और $-4 A + B = 3$ प्राप्त होता है,जिससे $A = -\frac{1}{2}$ और $B = 1$ मिलता है।अतः,$\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x = -\frac{1}{2} \int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} + \int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} = -\frac{1}{2} I_{1} + I_{2} \dots (1)$।$I_{1}$ के लिए,$5-4 x-x^{2} = t$ रखने पर,$(-4-2 x) d x = d t$ प्राप्त होता है। अतः,$I_{1} = \int \frac{d t}{\sqrt{t}} = 2 \sqrt{t} + C_{1} = 2 \sqrt{5-4 x-x^{2}} + C_{1} \dots (2)$।$I_{2}$ के लिए,$I_{2} = \int \frac{d x}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}} = \sin^{-1} \frac{x+2}{3} + C_{2} \dots (3)$।$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x = -\sqrt{5-4 x-x^{2}} + \sin^{-1} \frac{x+2}{3} + C$ प्राप्त होता है।

निम्नलिखित समाकल ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x$

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