अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 का व्या | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है $(1)$.दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ प्राप्त

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$y = \frac{x^2}{4} + Cx^{-2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है $(1)$.दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C$.$y \cdot x^2 = \int x^3 dx + C$.$y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$.$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $y = \frac{x^2}{4} + Cx^{-2}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \neq 0$ है।

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