उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x) = (x+1)^{3}(x-3)^{3}$ निरंतर वर्धमान या निरंतर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+1)^{3}(x-3)^{3}$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{3} + 3(x-3)^{2}(x+1)^{3}$
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{2} [(x-3) + (x+1)]$
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{2} (2x-2)$
$f'(x) = 6(x+1)^{2}(x-3)^{2}(x-1)$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखते हैं:
$6(x+1)^{2}(x-3)^{2}(x-1) = 0$
इससे $x = -1, 1, 3$ प्राप्त होता है।
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -1)$,$(-1, 1)$,$(1, 3)$,और $(3, \infty)$.
$1$. $x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ निरंतर ह्रासमान है।
$2$. $x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ निरंतर ह्रासमान है।
$3$. $x \in (1, 3)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ निरंतर वर्धमान है।
$4$. $x \in (3, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ निरंतर वर्धमान है।
अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$ में निरंतर ह्रासमान है और $(1, 3) \cup (3, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।