વિધેય $f(x) = (x+1)^{3}(x-3)^{3}$ કયા અંતરાલોમાં ચુસ્ત રીતે વધતું કે ઘટતું છે તે શોધો.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x+1)^{3}(x-3)^{3}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{3} + 3(x-3)^{2}(x+1)^{3}$
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{2} [(x-3) + (x+1)]$
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{2} (2x-2)$
$f'(x) = 6(x+1)^{2}(x-3)^{2}(x-1)$
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x+1)^{2}(x-3)^{2}(x-1) = 0$
આથી $x = -1, 1, 3$ મળે છે.
આ બિંદુઓ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાને ચાર અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે: $(-\infty, -1)$,$(-1, 1)$,$(1, 3)$,અને $(3, \infty)$.
$1$. $x \in (-\infty, -1)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $f$ ચુસ્ત રીતે ઘટે છે.
$2$. $x \in (-1, 1)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $f$ ચુસ્ત રીતે ઘટે છે.
$3$. $x \in (1, 3)$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી $f$ ચુસ્ત રીતે વધે છે.
$4$. $x \in (3, \infty)$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી $f$ ચુસ્ત રીતે વધે છે.
આમ,$f$ એ $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$ માં ચુસ્ત રીતે ઘટે છે અને $(1, 3) \cup (3, \infty)$ માં ચુસ્ત રીતે વધે છે.