वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+7$ द्वारा प्रदत्त फलन:
$(a)$ वर्धमान है
$(b)$ ह्रासमान है

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+7$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2x^{3}-3x^{2}-36x+7) = 6x^{2}-6x-36$.
अब,अवकलज का गुणनखंड करते हैं:
$f^{\prime}(x) = 6(x^{2}-x-6) = 6(x-3)(x+2)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$6(x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3, x = -2$.
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -2)$,$(-2, 3)$,और $(3, \infty)$.
हम प्रत्येक अंतराल में $f^{\prime}(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$1$. $x \in (-\infty, -2)$ के लिए,$x = -3$ लें: $f^{\prime}(-3) = 6(-3-3)(-3+2) = 6(-6)(-1) = 36 > 0$. अतः,$f$ वर्धमान है।
$2$. $x \in (-2, 3)$ के लिए,$x = 0$ लें: $f^{\prime}(0) = 6(0-3)(0+2) = 6(-3)(2) = -36 < 0$. अतः,$f$ ह्रासमान है।
$3$. $x \in (3, \infty)$ के लिए,$x = 4$ लें: $f^{\prime}(4) = 6(4-3)(4+2) = 6(1)(6) = 36 > 0$. अतः,$f$ वर्धमान है।
निष्कर्ष:
$(a)$ फलन $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ में वर्धमान है।
$(b)$ फलन $(-2, 3)$ में ह्रासमान है।