વિધેય $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+7$ માટે નીચેના અંતરાલો શોધો:
$(a)$ વધતું વિધેય
$(b)$ ઘટતું વિધેય

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+7$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2x^{3}-3x^{2}-36x+7) = 6x^{2}-6x-36$.
હવે,વિકલનના અવયવો પાડીએ:
$f^{\prime}(x) = 6(x^{2}-x-6) = 6(x-3)(x+2)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$6(x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3, x = -2$.
આ બિંદુઓ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે: $(-\infty, -2)$,$(-2, 3)$,અને $(3, \infty)$.
દરેક અંતરાલમાં $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$1$. $x \in (-\infty, -2)$ માટે,$x = -3$ લો: $f^{\prime}(-3) = 6(-3-3)(-3+2) = 6(-6)(-1) = 36 > 0$. તેથી,$f$ વધતું વિધેય છે.
$2$. $x \in (-2, 3)$ માટે,$x = 0$ લો: $f^{\prime}(0) = 6(0-3)(0+2) = 6(-3)(2) = -36 < 0$. તેથી,$f$ ઘટતું વિધેય છે.
$3$. $x \in (3, \infty)$ માટે,$x = 4$ લો: $f^{\prime}(4) = 6(4-3)(4+2) = 6(1)(6) = 36 > 0$. તેથી,$f$ વધતું વિધેય છે.
નિષ્કર્ષ:
$(a)$ વિધેય $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.
$(b)$ વિધેય $(-2, 3)$ માં ઘટતું વિધેય છે.