वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$ $(i)$ वर्धमान $(ii)$ ह्रासमान है।

(A) दिया गया है $f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{(2+\cos x)(4 \cos x - 2 - \cos x + x \sin x) - (4 \sin x - 2 x - x \cos x)(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}$.
अंश को सरल करने पर: $(2+\cos x)(3 \cos x - 2 + x \sin x) + \sin x(4 \sin x - 2 x - x \cos x)$.
$= 6 \cos x - 4 + 2 x \sin x + 3 \cos^2 x - 2 \cos x + x \sin x \cos x + 4 \sin^2 x - 2 x \sin x - x \sin x \cos x$.
$= 4 \cos x - 4 + 3 \cos^2 x + 4 \sin^2 x = 4 \cos x - 4 + 3 \cos^2 x + 4(1 - \cos^2 x) = 4 \cos x - \cos^2 x$.
अतः,$f'(x) = \frac{\cos x(4 - \cos x)}{(2+\cos x)^2}$.
चूंकि $(2+\cos x)^2 > 0$ और $(4 - \cos x) > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $\cos x$ पर निर्भर करता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $\cos x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(0, 2\pi)$ में $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ है।
$(i)$ जब $\cos x > 0$ होता है,तो $f'(x) > 0$ होता है,जो $(0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ में होता है।
$(ii)$ जब $\cos x < 0$ होता है,तो $f'(x) < 0$ होता है,जो $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में होता है।