વિધેય $f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$ કયા અંતરાલોમાં $(i)$ વધતું અને $(ii)$ ઘટતું છે તે શોધો.

(A) આપેલ છે કે $f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{(2+\cos x)(4 \cos x - 2 - \cos x + x \sin x) - (4 \sin x - 2 x - x \cos x)(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $(2+\cos x)(3 \cos x - 2 + x \sin x) + \sin x(4 \sin x - 2 x - x \cos x)$.
$= 6 \cos x - 4 + 2 x \sin x + 3 \cos^2 x - 2 \cos x + x \sin x \cos x + 4 \sin^2 x - 2 x \sin x - x \sin x \cos x$.
$= 4 \cos x - 4 + 3 \cos^2 x + 4 \sin^2 x = 4 \cos x - 4 + 3 \cos^2 x + 4(1 - \cos^2 x) = 4 \cos x - \cos^2 x$.
આમ,$f'(x) = \frac{\cos x(4 - \cos x)}{(2+\cos x)^2}$.
કારણ કે $(2+\cos x)^2 > 0$ અને $(4 - \cos x) > 0$ દરેક $x$ માટે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની $\cos x$ પર આધાર રાખે છે.
$f'(x) = 0$ લેતા $\cos x = 0$ મળે,તેથી $(0, 2\pi)$ માં $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ મળે.
$(i)$ જ્યારે $\cos x > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$ થાય,જે $(0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ માં થાય છે.
$(ii)$ જ્યારે $\cos x < 0$ હોય ત્યારે $f'(x) < 0$ થાય,જે $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં થાય છે.