फलन log (log x) का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञा | vedclass

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Question

(A) माना $y = \log (\log x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log (\log x)] = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) =

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$\frac{-(1+\log x)}{(x \log x)^2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = \log (\log x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log (\log x)] = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x \log x} = (x \log x)^{-1}$.अब,द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[(x \log x)^{-1}] = -1 \cdot (x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$.$\frac{d}{dx}(x \log x)$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:$\frac{d}{dx}(x \log x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$.इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-1}{(x \log x)^2} \cdot (1 + \log x) = \frac{-(1 + \log x)}{(x \log x)^2}$.

फलन $\log (\log x)$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।

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यदि $y=a \cos (\log x)+b \sin (\log x)$, जहाँ $a, b$ प्राचल (parameters) हैं, तो $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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