$(5, 2, -4)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $2, 3, -1$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ હોય તેવા સમતલના સદિશ અને કાર્તેઝિયન સમીકરણો શોધો.

(D) બિંદુ $(5, 2, -4)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
સમતલ એ $2, 3, -1$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{N} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ થશે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{N}$ ને લંબ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\vec{r} - (5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$ મળે.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ મેળવવા માટે,ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
તેથી $((x - 5)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 4)\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2(x - 5) + 3(y - 2) - 1(z + 4) = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$2x - 10 + 3y - 6 - z - 4 = 0$,જેનું પરિણામ $2x + 3y - z = 20$ મળે છે.